Modelado: Componentes y Tipos de un Modelo

Decidir de forma inteligente con recursos escasos

Optimizar es tomar decisiones de la mejor forma posible frente a un escenario con recursos limitados y un objetivo claro. Modelar es traducir un problema del mundo real (una empresa que produce, un camión que reparte, una dieta que cumplir) a un conjunto de ecuaciones y desigualdades que una computadora puede resolver.

El modelado es la habilidad más transversal del curso: aparece en la I1, en la I2 y en el examen. No basta con "saber" la teoría — hay que poder pasar de un enunciado en palabras a un modelo formal correcto.

Todo modelo se arma con cuatro componentes

1. Función objetivo (FO)

La expresión que quieres maximizar (utilidad, producción) o minimizar (costo, distancia, tiempo). Es una sola función que resume qué significa "lo mejor".

2. Variables de decisión

Las cantidades que el modelo puede ajustar: cuánto producir, qué rutas usar, qué plantas encender. Son las incógnitas del problema. Definirlas bien (qué representan, con qué índices y de qué tipo) es el 80

3. Restricciones

Las reglas que las variables deben cumplir: presupuesto, capacidad, demanda, leyes lógicas. Delimitan el conjunto de decisiones factibles.

4. Parámetros

Los datos fijos y conocidos del problema: precios, costos, capacidades, demandas. No son decisiones — son entradas. A diferencia de las variables, no cambian cuando resuelves el modelo.

Escribir muchos objetos con pocos símbolos

Los modelos reales tienen cientos de variables. En vez de escribirlas una por una, se usan índices y conjuntos. Ejemplo: $x_{ij}$ = unidades enviadas del origen $i$ al destino $j$, con $i\in I$ (orígenes) y $j\in J$ (destinos).

El cuantificador $\forall$

Una restricción con $\forall$ ("para todo") representa una restricción por cada valor del índice. Por ejemplo, una restricción de capacidad por cada planta:

Esa única línea genera $|I|$ restricciones (una por cada origen $i$). La sumatoria ${\sum }_{j\in J}$ recorre todos los destinos para un $i$ fijo.

Clasificación según la FO y las variables

El tipo de modelo determina qué algoritmo lo resuelve y cuán difícil es. Se clasifica según la forma de la FO y las restricciones (lineales o no) y la naturaleza de las variables (continuas o enteras).

Lineal (LP)

FO y restricciones lineales, variables continuas. El óptimo se alcanza en un vértice del poliedro factible. Se resuelve con el método Simplex.

Lineal entero / mixto (ILP / MILP)

Lineal, pero con algunas o todas las variables enteras o binarias (encender/apagar, sí/no, número de personas). Se resuelve con Branch & Bound y planos cortantes. La integralidad es una fuente de complejidad.

No lineal (NLP / MINLP)

La FO o alguna restricción tiene términos no lineales (cuadráticos, productos de variables, raíces, logaritmos). Se estudia con condiciones de optimalidad (KKT). Si además hay variables enteras, es un MINLP (lo más difícil).

Un método ordenado para no perderse

Ante un enunciado de modelación, sigue siempre el mismo orden:

• 1. Conjuntos e índices: ¿sobre qué familias decides? (productos, periodos, plantas).
• 2. Parámetros: lista los datos y ponles nombre con índices ($c_i$, $d_t$, $u_{ij}$).
• 3. Variables: define qué decides, con qué índices y de qué tipo (continua $\ge 0$, entera, binaria).
• 4. Función objetivo: min o max, en términos de variables y parámetros.
• 5. Restricciones: una por cada regla del enunciado, con su $\forall$ correspondiente.
• 6. Dominio: no olvides $x\ge 0$, integralidad o $x\in \{0,1\}$.

Mini ejemplo: mezcla de producción

Una fábrica produce $n$ productos. El producto $j$ da utilidad $p_j$ y consume $a_j$ horas de máquina. Hay $H$ horas disponibles. ¿Cuánto producir de cada uno para maximizar utilidad?

Aquí $x_j\ge 0$ (variable, cuánto producir), $p_j$ y $a_j$ y $H$ son parámetros, la suma de utilidades es la FO, y la restricción de horas es única (no lleva $\forall$ porque hay un solo recurso). Es un LP.